男生护肤品 补水保湿哪款好用又实惠 Integral

Operasi dalam kalkulusTemplat:SHORTDESC:Operasi dalam kalkulus Artikel ini berisi tentang konsep integral tentu dalam kalkulus. Untuk integral taktentu, lihat antiturunan. Untuk himpunan bilangan, lihat bilangan bulat. Untuk Penggunaan lain, lihat Integral (disambiguasi). Integral tentu dari suatu fungsi dapat diartikan sebagai luas bertanda dari daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi tersebut dan sumbu horizontal. Pada grafik di atas sebagai contoh, integral dari f ( x ) {\displaystyle f(x)} adalah luas berwarna biru (+) dikurangi oleh luas berwarna kuning (-). Kalkulus Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse Khusus fraksional Malliin stokastik variasi lbs

Dalam matematika, integral adalah versi kontinu dari konsep penjumlahan, yang digunakan untuk menghitung luas, volume, dan banyak perumumannya. Integrasi atau mengintegralkan, yakni proses menghitung suatu integral, adalah salah satu dari dua operasi penting dalam kalkulus;[a] operasi yang lain adalah turunan. Integrasi awalnya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam matematika dan fisika, seperti menghitung luas daerah dibawah suatu kurva atau menentukan besar perpindahan objek dari kecepatannya. Penggunaan integrasi selanjutnya meluas ke banyak bidang keilmuan.

Integral tentu dari fungsi f {\displaystyle f} menghitung luas bertanda dari daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva fungsi tersebut di antara dua titik di garis horizontal. Berdasarkan konvensi, luas daerah yang berada di atas garis horizontal memiliki luas yang bernilai positif, sedangkan yang berada di bawah memiliki luas negatif. Integral juga mencakup konsep antiturunan, yakni suatu fungsi yang turunannya adalah fungsi f {\displaystyle f} ; dalam hal ini, suatu fungsi tersebut disebut integral taktentu. Teorema dasar kalkulus memberikan hubungan antara integral tentu dengan turunan, dan cara menghitung integral tentu dari suatu fungsi yang antiturunannya diketahui; turunan dan integral adalah operasi yang saling berkebalikan.

Walaupun cara menghitung luas dan volume sudah diketahui sejak jaman Yunani kuno, prinsip dari integrasi baru dirumuskan secara terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada akhir abad ke-17. Keduanya menganggap luas daerah dibawah kurva sebagai penjumlahan takhingga dari persegi-persegi panjang dengan lebar infinitesimal (takhingga kecilnya). Bernhard Riemann kemudian memberikan definisi cermat (rigorous) dari integral, yang didasarkan pada suatu prosedur yang memprakirakan luas dari suatu daerah kurvilinear dengan memecah daerah tersebut menjadi plat-plat vertikal yang takhingga tipisnya. Pada awal abad ke-20, Henri Lebesgue memperumum metode Riemann dengan memperkenalkan hal yang sekarang disebut sebagai integral Lebesgue; integral ini lebih umum ketimbang Riemann dalam artian ada lebih banyak fungsi yang terintegralkan-Lebesgue.

Integral dapat diperumum tergantung jenis dari fungsi maupun domain atas integrasi dilakukan. Sebagai contoh, integral garis didefinisikan untuk fungsi dua-variabel atau lebih, dan selang dari integrasi digantikan oleh suatu kurva yang menghubungkan dua titik di suatu ruang. Sedangkan pada integral permukaan, kurva digantikan oleh sepotong permukaan di ruang dimensi tiga.

Terminologi dan notasi[sunting | sunting sumber]

Secara umum, integral dari sebuah fungsi bernilai riil f ( x ) {\displaystyle f(x)} terhadap variabel riil x {\displaystyle x} pada suatu selang [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} dituliskan sebagai ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.} Simbol integral ∫ {\textstyle \int } menandakan integrasi. Fungsi f ( x ) {\displaystyle f(x)} disebut integran. Simbol d x {\displaystyle dx} , terkadang ditulis sebagai d x {\displaystyle {\text{d}}x} , disebut diferensial dari variabel x {\displaystyle x} , dan menandakan variabel dari integrasi adalah x . {\displaystyle x.} Titik a {\displaystyle a} dan b {\displaystyle b} disebut batas (atau limit) dari integrasi, dan integrasi disebut dilakukan pada selang [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} .[1] Sebuah fungsi disebut terintegralkan jika integral fungsi tersebut pada domainnya bernilai hingga. Jika batas integrasi disertakan, integral disebut integral tentu.

Ketika batas integrasi tidak ada, misalnya seperti ∫ f ( x ) d x , {\displaystyle \int f(x)\,dx,} maka integral disebut sebagai integral taktentu. Integral ini menyatakan suatu kelompok fungsi (antiturunan) yang turunannya adalah integran.[2] Teorema dasar kalkulus menyatakan hubungan antara integral tentu dengan integral taktentu. Terdapat beberapa perumuman notasi dari integral, masing-masing untuk mencakup integrasi yang dilakukan pada domain yang takterbatas dan/atau dimensi tinggi (lihat bagian Perumuman di artikel ini).

Dalam pembahasan tingkat lanjut, cukup umum untuk tidak menuliskan d x {\displaystyle dx} ketika hanya menggunakan integral Riemann yang sederhana, atau ketika integral dapat berlaku secara umum. Sebagai contoh, sifat linearitas dari integral dapat dituliskan ∫ a b ( c 1 f + c 2 g ) = c 1 ∫ a b f + c 2 ∫ a b g {\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g} , simbol d x {\displaystyle dx} tidak dituliskan karena sifat tersebut berlaku bagi integral Riemann dan semua perumumannya.[b]

Interpretasi[sunting | sunting sumber] Hampiran integral x {\displaystyle {\sqrt {x}}} pada nilai x = 0 {\displaystyle x=0} hingga x = 1 {\displaystyle x=1} , menggunakan 5 partisi titik akhir kanan (warna kuning) dan 12 partisi titik akhir kiri (warna hijau).

Integrasi muncul dalam banyak masalah umum. Bila suatu kolam renang berbentuk kotak dengan dasar yang datar, maka dari panjang, lebar, dan kedalamannya kita dengan mudah dapat menentukan volume air yang dapat ditampungnya (untuk mengisinya), luas permukaannya (untuk menutupinya), dan panjang tepinya (untuk membuat pembatas). Namun jika kolam renang berbentuk oval dengan dasar yang melengkung, semua masalah tadi membutuhkan integral. Tentu perkiraan praktis mungkin cukup untuk contoh sederhana seperti itu, tetapi integral diperlukan dalam ilmu teknik yang membutuhkan ketelitian dan nilai yang presisi. Dalam masing-masing cara tadi, besaran yang ingin ditentukan (misal panjang pembatas) dapat dihitung dengan membaginya menjadi banyak bagian-bagian kecil (atau sampai infinitesimal), lalu menjumlahkan bagian-bagian tadi untuk mendapatkan perkiraan yang akurat.

Sebagai contoh lain, misal seseorang ingin menentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x {\textstyle {\sqrt {x}}} pada selang x = 0 {\displaystyle x=0} sampai x = 1 {\displaystyle x=1} . Ia dapat memperkirakan luasnya dengan membagi selang menjadi lima bagian ( 0 , 1 5 , 2 5 , ⋯ , 1 ) {\displaystyle (0,\,{\tfrac {1}{5}},\,{\tfrac {2}{5}},\,\cdots ,\,1)} , lalu membuat persegi-persegi panjang dengan tinggi nilai fungsi di batas kanan setiap subselang—sehingga tinggi masing-masingnya adalah 1 5 , 2 5 , ⋯ , 5 5 {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{5}}},\,{\sqrt {\tfrac {2}{5}}},\,\cdots ,\,{\sqrt {\tfrac {5}{5}}}} , kemudian menjumlahkan semua persegi panjang tadi untuk mendapatkan hampiran 1 5 ( 1 5 − 0 ) + 2 5 ( 2 5 − 1 5 ) + ⋯ + 5 5 ( 5 5 − 4 5 ) ≈ 0 , 7497 , {\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0,7497,} yang lebih besar daripada nilai sebenarnya. Hampiran lain dapat dilakukan menggunakan batas kiri setiap subselang, tetapi nilai yang didapatkan lebih kecil daripada sebenarnya: dengan 12 subselang akan menghasilkan luas 0 , 6203 {\displaystyle 0,6203} . Tetapi ketika banyak subselang diperbanyak sampai tak hingga, luas yang dihitung akan mencapai suatu limit yang sama dengan sama dengan luas daerah yang ingin dicari (dalam kasus ini bernilai 2 3 {\textstyle {\tfrac {2}{3}}} ). Menggunakan notasi integral, ini ditulis sebagai ∫ 0 1 x d x = 2 3 , {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},} yang mengartikan 2 3 {\textstyle {\tfrac {2}{3}}} adalah jumlah berbobot dari nilai-nilai fungsi, x {\displaystyle {\sqrt {x}}} , dikalikan dengan lebar yang infinitesimal, yang disimbolkan dengan d x {\displaystyle dx} , pada selang [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,\,1]} .

Jumlah DarbouxJumlah Darboux atas untuk fungsi y = x2Contoh jumlah Darboux bawah untuk fungsi y = x2 Definisi formal[sunting | sunting sumber] jumlah Riemann yang konvergen ke luas bertanda dari fungsi

Ada banyak cara untuk mendefinisikan integral secara formal, tapi tidak semuanya setara. Perbedaan tersebut sebagian besar terjadi untuk menangani kasus-kasus khusus yang mungkin tidak dapat diintegrasikan dalam definisi lain, tetapi terkadang juga terjadi karena alasan pedagogis. Definisi integral yang paling umum digunakan adalah integral Riemann dan integral Lebesgue.

Integral Riemann[sunting | sunting sumber] Artikel utama: Integral Riemann

Integral Riemann didefinisikan menggunakan jumlah Riemann dari fungsi terhadap partisi bertanda dari sebuah interval.[3][4] Partisi bertanda dari sebuah selang tertutup [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} pada garis riil adalah barisan terbatas a = x 0 ≤ t 1 ≤ x 1 ≤ t 2 ≤ x 2 ≤ ⋯ ≤ x n − 1 ≤ t n ≤ x n = b . {\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!} Partisi ini memecah selang [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} menjadi n {\displaystyle n} subselang [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle [x_{i-1},\,x_{i}]} yang diindeks oleh i {\displaystyle i} , dan masing-masing "menandai" suatu titik t i ∈ [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},\,x_{i}]} . Mesh dari partisi tersebut adalah subselang di partisi dengan lebar terbesar, max i = 1 , ⋯ , n Δ i {\textstyle \max _{i=1,\cdots ,n}\Delta _{i}} . Selanjutnya, jumlah Riemann dari sebuah fungsi f {\displaystyle f} terhadap partisi bertanda tersebut didefinisikan sebagai ∑ i = 1 n f ( t i ) Δ i ; {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};} sehingga setiap suku dalam penjumlahan menyatakan luas sebuah persegi panjang dengan tinggi sama dengan nilai fungsi pada suatu nilai di subselang tersebut, dan dengan lebar sama dengan lebar subselang, Δ i = x i − x i − 1 {\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}} .

Akhirnya, integral Riemann dari sebuah fungsi f {\displaystyle f} pada selang [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} didefinisikan sama dengan S {\displaystyle S} jika:[5]

Untuk setiap ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} terdapat δ > 0 {\displaystyle \delta >0} sedemikian sehingga, untuk sebarang partisi bertanda [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} dengan mesh lebih kecil dari δ {\displaystyle \delta } , berlaku hubungan | S − ∑ i = 1 n f ( t i ) Δ i | μ ( { x : f ( x ) > t } ) d t {\displaystyle \mu (\{x:f(x)>t\})dt} . Misalkan f ∗ ( t ) = μ ( { x : f ( x ) > t } ) {\displaystyle f^{*}(t)=\mu (\{x:f(x)>t\})} . Integral Lebesgue dari f {\displaystyle f} selanjutnya didefinisikan sebagai ∫ f = ∫ 0 ∞ f ∗ ( t ) d t {\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt} dengan bentuk integral di ruas kanan adalah bentuk integral takwajar Riemann biasa (fungsi f ∗ {\displaystyle f^{*}} adalah fungsi positif yang menurun tegas (strictly decreasing), sehingga memiliki integral takwajar Riemann).[10] Definisi ini berlaku untuk suatu kelompok fungsi yang sesuai (yakni fungsi terukur).

Sebarang fungsi terukur f {\displaystyle f} terintegralkan-Lebesgue jika jumlah dari nilai-nilai mutlak dari luas daerah diantara grafik fungsi f {\displaystyle f} dan sumbu- x {\displaystyle x} bernilai hingga; secara matematis:[11] ∫ E | f | d μ f + ( x ) = max { f ( x ) , 0 } = { f ( x ) , jika  f ( x ) > 0 , 0 , lainnya, f − ( x ) = max { − f ( x ) , 0 } = { − f ( x ) , jika  f ( x ) 0,\\0,&{\text{lainnya,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{jika }}f(x)

Integral lainnya[sunting | sunting sumber]

Walau integral Riemann dan Lebesgue adalah definisi integral yang paling umum digunakan, ada beberapa definisi integral lainnya, termasuk diantaranya:

Integral Darboux, yang didefinisikan menggunakan jumlah Darboux (kasus khusus dari jumlah Riemann), tapi setara dengan integral integral Riemann. Suatu fungsi terintegralkan-Darboux jika dan hanya jika fungsi tersebut terintegralkan-Riemann. Integral Darboux memiliki keuntungan karena lebih mudah didefinisikan ketimbang integral Riemann. Integral Riemann–Stieltjes, perumuman dari integral Riemann yang mengintegrasi terhadap sebuah fungsi ketimbang sebuah variabel. Integral Lebesgue–Stieltjes, dikembangkan lebih lanjut oleh Johann Radon, memperumum integral Riemann–Stieltjes dan integral Lebesgue. Integral Daniell, yang mengubah integral Lebesgue dan Lebesgue-Stieltjes sehingga tidak bergantung pada konsep ukuran. Integral Haar, digunakan untuk integrasi pada grup topologis yang kompak secara lokal, diperkenalkan oleh Alfréd Haar pada tahun 1933. Integral Henstock–Kurzweil, didefinisikan oleh Arnaud Denjoy, Oskar Perron, dan (secara lebih elegan sebagai gauge integral) Jarosl Kurzweil, dan dikembangkan oleh Ralph Henstock. Integral Itô dan integral Stratonovich, yang mendefinisikan integrasi terhadap semimartingales seperti gerak Brown. Integral Young, salah satu jenis integral Riemann–Stieltjes terhadap suatu jenis fungsi dengan unbounded variation. Integral rough path, didefinisikan untuk fungsi yang dilengkapi oleh suatu struktur "rough path" tambahan dan memperumum integrasi stokastik baik terhadap semimartingales dan proses seperti gerak Brown fraksional. Integral Choquet, sebuah integral subaditif atau superaditif yang dibuat oleh matematikawan Prancis Guste Choquet pada tahun 1953. Integral Bochner, sebuah perumuman dari integral Lebesgue ke suatu kelompok fungsi yang lebih luas, yakni fungsi yang domain merupakan ruang Banach. Sifat[sunting | sunting sumber] Kelinearan[sunting | sunting sumber]

Himpunan semua fungsi terintegralkan-Riemann pada suatu selang tertutup [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} akan membentuk sebuah ruang vektor di bawah operasi penjumlahan setitik (pointwise addition) dan perkalian dengan skalar. Operasi integrasi f ↦ ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx} merupakan bentuk linear pada ruang vektor tersebut. Akibatnya, himpunan fungsi terintegralkan bersifat tertutup dibawah kombinasi linear, dan integral dari sebuah kombinasi linear sama dengan kombinasi linear dari integral:[13] ∫ a b ( α f + β g ) ( x ) d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,} Mirip dengan hal itu, himpunan fungsi terintegralkan-Lebesgue bernilai-riil pada suatu ruang ukuran E {\displaystyle E} dengan ukuran μ {\displaystyle \mu } , bersifat tertutup dibawah proses membuat kombinasi linear, sehingga menghasilkan sebuah ruang vektor. Integral Lebesgue f ↦ ∫ E f d μ {\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu } merupakan bentuk linear dalam ruang vektor tersebut, sehingga:[12] ∫ E ( α f + β g ) d μ = α ∫ E f d μ + β ∫ E g d μ . {\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .} Secara umum, pertimbangkan ruang vektor dari semua fungsi terukur pada ruang ukuran ( E , μ ) {\displaystyle (E,\,\mu )} , dengan nilai di ruang vektor topologis yang lengkap dan kompak lokal V {\displaystyle V} atas suatu lapangan topologis kompak lokal K {\displaystyle K} , f : E → V . {\displaystyle f:E\to V.} Kita dapat mendefinisikan pemetaan integrasi abstrak yang memadankan setiap fungsi f {\displaystyle f} masing-masing dengan sebuah elemen di V {\displaystyle V} atau simbol ∞ {\displaystyle \infty } , f ↦ ∫ E f d μ , {\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,} yang kompatibel dengan kombinasi linear.[14] Dalam kasus ini, kelinearan berlaku untuk subruang dari fungsi yang integralnya adalah suatu elemen dari V {\displaystyle V} (dengan kata lain, "bernilai hingga"). Kasus penting yang spesial muncul ketika K {\displaystyle K} berupa R {\displaystyle \mathbb {R} } , C {\displaystyle \mathbb {C} } , atau perluasan hingga dari lapangan bilangan p-adic Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} , dan V {\displaystyle V} adalah suatu ruang vektor dimensi-hingga atas K {\displaystyle K} ; dan ketika K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } dan V {\displaystyle V} adalah ruang Hilbert kompleks.

Kelinearan, bersama dengan beberapa sifat kekontinuan dan normalisasi untuk suatu kelompok fungsi "sederhana", dapat digunakan untuk membuat definisi alternatif dari integral. Ini adalah pendekatan yang dilakukan integral Daniell untuk kasus fungsi bernilai riil pada sebuah himpunan X {\displaystyle X} ; dan diperumum oleh Nicolas Bourbaki ke fungsi-fungsi dengan nilai yang terletak di ruang vektor topologis kompak lokal. Lihat Hildebrandt 1953 untuk karakterisasi aksiomatik dari integral ini.

Pertidaksamaan[sunting | sunting sumber]

Beberapa pertidaksamaan umum berlaku untuk fungsi-fungsi terintegralkan-Riemann yang terdefinisi pada selang tertutup dan terbatas [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} , dan dapat diperluas ke bentuk-bentuk integral lainnya (seperti Lebesgue). Pertidaksamaan tersebut meliputi:

Batas bawah dan batas atas. Sebarang fungsi f {\displaystyle f} yang terintegralkan pada [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} haruslah terbatas pada selang tersebut. Artinya, ada bilangan riil m {\displaystyle m} dan M {\displaystyle M} sehingga m ≤ f ( x ) ≤ M {\displaystyle m\leq f(x)\leq M} untuk sebarang x ∈ [ a , b ] . {\displaystyle x\in [a,\,b].} Karena jumlah batas bawah dan batas atas dari f {\displaystyle f} pada [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} secara berurutan sama dengan m ( b − a ) {\displaystyle m(b-a)} dan M ( b − a ) {\displaystyle M(b-a)} , dapat disimpulkan m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) . {\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).} Pertidaksamaan antar fungsi.[15] Jika f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle f(x)\leq g(x)} untuk setiap x ∈ [ a , b ] , {\displaystyle x\in [a,\,b],} maka jumlah batas bawah dan atas dari f {\displaystyle f} dibatasi dari-atas masing-masing oleh jumlah batas bawah dan atas dari g . {\displaystyle g.} Akibatnya, ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.} Ini adalah perumuman dari pertidaksamaan sebelumnya, karena M ( b − a ) {\displaystyle M(b-a)} sama saja dengan integral dari fungsi konstan bernilai M {\displaystyle M} pada [ a , b ] . {\displaystyle [a,\,b].} Lebih lanjut, jika pertidaksamaan antar fungsi bersifat tegas, maka pertidaksamaan antar integral juga tegas. Artinya, jika f ( x )