定理 1. $f(x)$在$(a,b)$可导，则
若$f'(x)\geq0(f'(x)>0), \forall x\in(a,b)$，则$f(x)$在$(a,b)$上(严格)单调增 若$f'(x)0$，满足$f'(x)>0, \forall x\in(x_0-\delta,x_0)$；且存在$\delta'>0$，满足$f'(x)0, \forall x\in(x_0,x_0+\delta')$。则$x_0$为$f(x)$的一个极小值点。 若在$x_0$左边的某个区间和右边的某个区间内，$f'(x)$的符号相同，则$x_0$不是极值点。$f'(x)=0$的点与导数不存在的点，均为可能的极值点
对导数为$0$的点，有
1. 可能是极大值。$f(x)=-x^2$
\[\begin{cases} f'(x)x_0 \\ f'(x)>0, x0$，则$x_0$是$f(x)$的极大值点 若$f''(x_0)\dfrac{2}\pi x, x\in(0,\dfrac\pi2]$例 4. (例3.5.3) 求函数$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$在区间$[-4,4]$上的最大值和最小值
例 5. $f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}, x>0$ 单调增
例 6. $e0, 0(\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}$, $n>8$
例 9. 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内有界，且有连续导数，$|f(x)-f'(x)|\leq 1$,求证：
\[|f(x)|\leq 1 \]例 10. (例3.5.4) $x^\alpha-\alpha x\leq 1-\alpha, \alpha\in(0,1), x>0$
例 11. $\sqrt{a_1a_2\cdots a_n}\leq\frac1n(a_1+a_2+\cdots+a_n) , \forall a_i\geq0$
例 12. (Holder不等式) $\forall a_i, b_i$不全为$0$非负数组, $\frac1p+\frac1q=1$, $p>1$, $q>1$
\[\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq(\sum_{i=1}^n a_i^p)^{\frac1p}(\sum_{i=1}^n b_i^q)^\frac1q \]例 13. (Minkowski不等式) $\forall a_i, b_i$不全为$0$非负数组, $p>1$
\[(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p)^{\frac1p}\leq(\sum_{i=1}^n a_i^p)^{\frac1p}+(\sum_{i=1}^n b_i^p)^{\frac1p} \] 函数的凸性与拐点 一阶导数提供的信息只是一个大概 借助函数的二阶导数讨论函数的凸性、拐点与曲率若连接曲线$L$上的任意两点的直线，总是位于曲线的上方，则称曲线为凸的。
定义 1. (凸函数) 设$f(x)$是区间上的函数，若对$I$中任意两点$x_1$, $x_2$，以及对任意$\lambda\in(0,1)$，有
\[f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) \]则称$f(x)$为$I$上的凸函数。若不等号改为$0$ 增 $